منطق وجهی برای توپولوژی

منطق وجهی به عنوان یک زبان برای بحث در مورد فضاهای توپولوژیک، حدود 60 سال سابقه دارد. در اصل انگیزه های اولیه این تحقیق و مطالعه صرفاً ریاضی بوده است ولی اخیراً کاربردهای علم کامپیوتر نیز دلایل دیگری به آن افزوده است. از مهمترین موضوعات در منطق وجهی گسترش زبان های وجهی و مطالعه قدرت بیان آنها می باشد. مراجع [1و2و3و4] در بردارنده بخشی ازاین تلاشها می باشد. در چشم انداز زبانهای فضایی زبان های وجهی تعبیر شده در فضاهای توپولوژیک را می توان یک کرانه کمینه در نظر گرفت یعنی پیچیدگی پایین دارد ولی نیروی بیان آن هم پایین است. روشهای زیادی برای افزایش قدرت بیان زبان وجهی اصلی (در ساختارهای توپولوژیکی) وجود دارد که موجب افزایش پیچیدگی محاسباتی آن نشود. برخی از آنها رنگ و بوی نحوی دارند مثل اضافه کردن وجه کلی، وجه تفاوت و یا نامینه ها، معناشناسانه هستند مثل عملگر لوزی، با در نظر گرفتن مجموعه مشتق به جای در نظر گرفتن بستار مجموعه، . نتایج پراکنده ای از مقایسه قدرت بیان این زبان ها بدست آمده است. برای مثال ، نشان می دهد که اضافه کردن وجه کلی قدرت بیان را افزایش می دهد، نشان داد که افزودن نامینه ها (همانند اضافه کردن وجه تفاوت) قدرت بیان را افزایش می دهد. با این حال این تلاش ها مرزهای دقیق قدرت بیان زبان های مربوطه درساختارهای توپولوژیکی را مشخص نکرده است. در حقیقت هیچ ابزار مناسبی برای پاسخگویی به این سوالات شناخته نشده است. دراین پژوهش قدرت بیان و تعریف پذیری برای زبانهای وجهی گسترش یافته که با فضاهای توپولوژیک تعبیر می شوند مورد بررسی قرار خواهد گرفت. نظیرهای توپولوژیکی قضایای رده بندی و نیز قضایای بر پایه منطق توپولوژیک بیان خواهد شد. a : اگر فرمولی در باشد آنگاه برابر است با ترجمه استاندارد یک فرمول وجهی هم عرض است اگر و تنها اگر تحت تشابه دوگانه توپولوژیکی پایا باشد. b: اگر k کلاسی از فضاهای توپولوژیکی قابل تعریف در باشد آنگاه k در زبان وجهی اصلی تعریف پذیر است اگر و تنها اگر تحت مجموع توپولوژیکی، زیر فضاهای باز و تصاویر توابع درونی بسته باشد و مکمل کار تحت گسترش الکساندروف بسته باشد. در این جا منطق بخشی از منطق مرتبه دوم است که برای فضاهای توپولوژیک تعریف شده است. ساختار رساله به صورت زیر می باشد: فصل اول: نکاتی از فضاهای توپولوژیکی، نظریه مدل توپولوژیکی و معناشناسی توپولوژیکی برای منطق وجهی. فصل دوم: در بخش 2.1 قدرت بیان زبان وجهی پایه را مشخص می کنیم و قضیه 24 بخش 2.3 نتیجه تکنیکی اصلی است که به کثرت در بخش های بعدی از آن استفاده می شود. در قسمت2.4 تعریف پذیری در زبان وجهی پایه را با تعریف پذیری مرتبه اول مقایسه می کنیم. فصل سوم: دیدگاه جبری روی این نتایج را در نظر می گیریم. فصل چهارم: تعدادی از گسترش های منطق وجهی پایه را مطالعه می کنیم و تعریف پذیری در آنها را رده بندی می کنیم. فصل پنجم: به نتیجه گیری کلی می پردازیم.